О системе TAYLOR

Программная система TAYLOR разработана в Центральном экономико-математическом институте РАН. В основе системы лежит компьютерная "Алгебра дифференцирования" (АД), позволяющая вычислять требуемое число n коэффициентов разложения данной функции (одного переменного) в заданной точке. Функция может быть определена различными способами, описанными ниже. Во всех случаях исходная информация о функции задается соответствующими формулами, и кроме того, указываются значения аргументов и порядок разложения n.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются не путем применения приближенных разностных схем, а непосредственно на основе формул дифференциального исчисления по авторским рекуррентным алгоритмам; точность результата ограничивается лишь погрешностью вычислений на компьютере. Это означает, что алгебра дифференцирования открывает принципиально новые точные и простые средства для широкого использования в вычислительной практике методов, связанных с представлением функций рядами Тейлора, методов асимптотических разложений, прямых методов высших производных. В программмной системе TAYLOR эти срества реализованы применительно к типовым задачам вычислительной математики.

Компьютерная алгебра дифференцирования была разработана В.З.Беленьким в начале 80-х годов и реализована в языке программирования АЛГОЛ-68 при участии Е.С.Бирюковой и консультациях М.Р.Левинсона. В конце 80-х годов была реализована первая версия системы TAYLOR в языке BASIC при участии Т.П.Австрийской. В 90-е годы при участии О.А.Васильевой и А.Б.Кукаркина были проведены вычислительные эксперименты, подтвердившие эффективность алгоритмов АД. После этого О.А.Васильева имплементировала версию-2 в языке PASCAL с разработанным ею интерактивным интерфейсом; в этой версии была реализована идея В.А.Булавского о возможности работы с системами уравнений.

Интерактивная версия TAYLOR-3 разработана и имплементирована в 2008/09 гг. в среде DELPHI В.З.Беленьким совместно с М.А.Милковой при консультациях В.Л.Ушковой.

Публикации по системе TAYLOR указаны в списке литературы, см. [1-4].

Комплекс программ системы TAYLOR-3 включает процедуры четырех уровней. Процедуры нулевого, базового, уровня являются фундаментом всей системы и в то же время имеют важное самостоятельное значение. Процедуры следующих трех уровней предназначены для решения наиболее типичных задач вычислительной математики.

КАТАЛОГ ПРОЦЕДУР СИСТЕМЫ TAYLOR-3

0. Базовый уровень: пакет процедур получения полиномов Тейлора

Процедуры получают коэффициенты ck полинома Тейлора функции y = y(x):

        (0)

на входе задаются функция y(x), порядок полинома n и точка разложения x0. В меню системы имеется 10 способов задания функции y(x); во всех случаях требуемые функции задаются формулами языка PASCAL.

  1. Явная функция. Задается формула функции y = f(x).
  2. Обратная функция. Для данной функции g(y) и начального значения y0 вычисляется точка x0 := g(y0) и строится полином (0) функции y(x), удовлетворяющей в окрестности этой точки соотношению g[y(x)] ? x.
  3. Полная функция. y = F [x, u1(x), ..., um(x)], где функция F и набор функций {u1, ..., um} задаются.
  4. Обратная к полной функции. Функция y(x) определяется соотношением G[y, u1(y), ..., um(y)] = x; функции G, {u1,...,um} и начальное значение y0 задаются.
  5. Неявная функция. Функция y(x) определяется условием связи F (x, y)= F (x0,y0), где функция связи F и начальные значения (x0,y0) задаются.
  6. Сложная неявная функция. Функция y(x) определяется сложной функцией связи F [x, y, u1(x, y), ..., um(x, y)] при заданных функциях F, {u1, ..., um} и начальных значениях (x0,y0).

  7. Параметрическая функция. Функция y(x) определяется соотношениям

    x = f1(t) ,y = f2(t);

    функции f1,f2 и начальная точка t0 задаются.

  8. ОДУ первого порядка. Функция y(x) определяется как интегральная кривая обыкновенного дифференциального уравнения

    y'(x)= G[x, y(x)] ,    y(x0)= y0 ;         (1)

    задаются функция G и начальные значения (x0,y0). Разложение строится в начальной точке x0.

  9. ОДУ высокого порядка. Функция y(x) определяется дифференциальным уравнением высокого порядка

    y(m)(x)= G[x, y[m?1](x)]     y[m?1] := {y, y', .., y(m?1)}         (2)

    при заданном порядке уравнения m и начальных данных (x,y[m-1])0

  10. Сингулярное ОДУ. Функция y(x) определяется сингулярным дифференциальным уравнением

    xy(m)(x)= G[x, y[m?1](x)]     x0 = 0         (3)

    с нулевым коэффициентом при старшей производной.

  11. Система ОДУ. Процедура получает разложение многомерной векторной функции y(x), определяемой как интегральная кривая системы дифференциальных уравнений в m-мерном пространстве

    y'(x)= G(x, y)     y(x0)= y0     (y, G ? Rm) ;         (4)

    разложение строится для всех компонент вектора y в начальной точке x0.

В процедурах 2,4,5,6,7,10 для существования функции y(x) требуется выполнение определенных условий. В системе TAYLOR-3 у каждой процедуры имеется Пояснительная записка, вызываемая опцией "help"; в частности, там оговорены необходимые условия

1. Пакет процедур первого уровня

В этот пакет включены процедуры, работающие с функциями одного переменного (одномерные задачи, не требующие выхода в многомерное пространство).

  1. Корень явной функции. Процедура находит корень уравнения f(x)=0 в окрестности заданного начального значения x0.
  2. Корень полной функции. Решается та же задача для полной функции F [x, u1(x), ..., um(x)].
  3. Корень производной. Находится корень уравнения f'(x)=0; это равносильно нахождению точки экстемума функции f в окрестноси заданного начального значения x0.
  4. Вычисление определенного интеграла. Для заданных (f, a, b) вычислется интеграл

  5. Задача Коши для ОДУ первого порядка. Для дифференциального уравнения (см. (1))

    y'= G(x, y)     y(x0)= y0

    вычислется значение y(b) в заданной концевой точке x = b.

2. Пакет процедур второго уровня

Пакет включает программы, требующие выхода в многомерное пространство многомерные задачи.

  1. Решение системы двух уравнений. Для заданных функций F1,F2 в окрестности начального приближения (x0,y0) находится решение системы уравнений {F1(x, y)= 0 ,F2(x, y)=0} .
  2. Задача Коши для ОДУ высокого порядка. Решается задача Коши для дифференциального уравнения высокого порядка, см. (2).
  3. Задача Коши для системы уравнений. Решается задача Коши для системы дифференциальных уравнений, см. (4).

3. Пакет процедур третьего уровня

Сюда включаются специальные задачи, в версии TAYLOR-3 таких задач две.

  1. Разложение в ряд Тейлора решения уравнения Беллмана

    В экономической динамике для заданного информационного паспорта (U, F, ?) модели Рамсея-Касса-Купманса рассматривается уравнение Беллмана (относительно функции выигрыша V ), записанное в форме (см. [5, §10])

    Переходная функция этого уравнения x ? y = Y (x) имеет стационарную (неподвижную точку) x*. Процедура находит точку x* и строит разложение Тейлора функций V (x),Y (x) в ее окрестности; подробнее см. [6].
  2. Вычисление несобственного интеграла от быстросциллирующей функции

    В физических исследованиях часто возникают интегралы вида

    где частота колебаний ? велика. Такие интегралы вычисляются с помощью асимптотической формулы (см. [7, п. 2.8])

    где bk явно связаны с коэффициентами Ck(y, x0) полинома (0). Используя коэффициенты ck процедура вычисляет интеграл по формуле (5).

ЛИТЕРАТУРА

  1. Беленький В.З. Базовые алгоритмы алгебры дифференцирования для ЭВМ. – М.: ЦЭМИ АН СССР, 1983 (препринт). Репринтное переиздание – М.: ЦЭМИ РАН, 2003.
  2. Беленький В.З., Австрийская Т.П. Программная реализация алгебры дифференцирования для ЭВМ. // Доклад на I Международном конгрессе по прикладной математике. Париж, 1987.
  3. Беленький В.З., Австрийская Т.П. Сообщение о программной системе "Алгебра дифференцирования TAYLOR". Кибернетика, 1989, № 3.
  4. Беленький В.З., Васильева О.А., Кукаркин А.Б. Программный модуль "Алгебра дифференцирования TAYLOR": результаты численных экспериментов, сообщение о версии 2.1. Кибернетика и системный анализ, 1997, № 3.
  5. Беленький В.З. Оптимизационные модели экономической динамики. – М.: Наука, 2007.
  6. Борисова (Милкова) М.А. Применение Алгебры дифференцирования к исследованию уравнения Беллмана. Реализация в среде DELPHI. // Сб. "Анализ и моделирование экономических процессов", вып. 5. – М.: ЦЭМИ РАН, 2008.
  7. Эрдейи А. Асимптотические разложения. – М.: ГИФМЛ, 1962.

    8. вернуться в начало

    Читать информационное сообщение о системе TAYLOR

    Подать заявку на получение дистрибутива системы TAYLOR-3
 
НОВОСТИ

В Лаборатории выполнена важная прикладная разработка... Подробнее >>
 
ЦЭМИ РАН

Главная страница сайта центрального экономико-математического института РАН  Перейти >>

 
 
ЛАБОРАТОРИИ

Научные подразделения ЦЭМИ РАН  Перейти >>
Copyright © ЦЭМИ 2010 г.